Решение систем квадратных неравенств

Решение систем квадратных неравенств

Давайте рассмотрим решение систем квадратных неравенств. Для этого нужно решить каждое неравенство, входящее в систему, а потом найти общее решение для всей системы.

решение системы

Наше двойное неравенство, предлагавшееся на тестах по математике, эквивалентно вот такой системе неравенств.

Теперь наше решение разбивается на отдельные случаи.

Рассмотри Случай 1

случай 1

Перенесем все в левую часть.

левая часть

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак, ответ этого случая:

.

Случай 2

Случай 2

Перенесем все в левую часть.

Решаем вспомогательное уравнение.

Мы получили полное квадратное уравнение

На следующем шаге  находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит,  уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

формула корней квадратного уравнения.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак, ответ этого случая:
.

Случай 3

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 3.1

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 3.2

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Полученные решения отметим на рисунках.

Найдем объединенное решение.

Итак, ответ этого случая:

x - любое.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение. Для этого отметим  все предыдущие решения на одном рисунке.

При решении систем квадратных неравенств получили вот такой окончательный ответ:

Решение систем квадратных неравенств.