Решение двойных неравенств на тестах по математике

Решить двойное неравенство оптимальным методом

Двойное неравенство эквивалентно системе неравенств.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Перенесем все в левую часть.

Изменяем порядок действий.

Выносим знак минус из произведения.

Изменяем порядок действий.

Производим группировку.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательное уравнение.

Уравнение 1.1

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Воспользуемся формулой разности кубов.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены, выносим знак минус из произведения.

Приводим подобные члены.

Изменяем порядок действий.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак,ответ этого случая:

.

Ответ этого уравнения:

.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

.

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 1.3:
.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 1.4 :

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак, ответ этого случая:

.

Случай 2

Перенесем все в левую часть.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Производим группировку чтобы упростить выражение

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательное уравнение.

Решим уравнение

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Воспользуемся формулой разности кубов.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак, ответ этого случая:

.

Рассмотри еще одно уравнений

Для его решения раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Изменяем порядок действий.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит,  уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак, ответ этого случая:

.

Ответ этого уравнения:

.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Рассмотрим случай когда х лежит в диапазоне

.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Рассмотри случай, когда x меньше

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак, ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Сдавая тесты по математике, указываем окончательный ответ следующим образом:

.