Решение неравенств с модулем. Квадратичная функция в модуле.

Решение неравенств с модулем. Квадратичная функция в модуле

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.1

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 1.2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.2.1

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.2.1.1

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 1.2.1.2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.2.1.2.1

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.2.1.2.2

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай

Перенесем все в левую часть.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Изменяем порядок действий.

Решаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.

Старший коэффициент положителен.

Квадратичная функция принимает только положительные значения.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая: x - любое. Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:

.

Следующий случай

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Следующий случай

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Перенесем все в левую часть.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Находим дискриминант.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Найдем объединенное решение.

Итак,ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 1.2.2

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 1.2.2.2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 1.2.2.2.1.2

Перенесем все в левую часть.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Итак,ответ этого случая:
.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:

Случай 1.2.2.2.2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.2.2.2.2.1

Итак, ответ этого случая:

.

Случай 1.2.2.2.2.2

Перенесем все в левую часть.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак,ответ этого случая:

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак, ответ

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Найдем объединенное решение.

ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:

Полученные решения отметим на рисунках.

Найдем объединенное решение.

Итак,ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 2

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.1

Итак, ответ этого случая:

Случай 2.2..

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.2.1

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.2.1.1.

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.2.1.2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.2.1.2.1

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.2.1.2.1.1

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.2.1.2.1.2

Перенесем все в левую часть.

Раскрываем скобки.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Решаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Случай
.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай
.

Перенесем все в левую часть.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:
.

Полученные решения отметим на рисунках.

Найдем объединенное решение.

Итак,ответ этого случая:

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 2.2.2

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.2.2.1

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:

Случай 2.2.2.2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.2.2.2.1

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.2.2.2.1.1

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.2.2.2.1.2

Перенесем все в левую часть.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Изменяем порядок действий.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Находим дискриминант.

Итак, ответ этого случая:

.

Итак, ответ этого случая: нет решений.

Случай 2.2.2.2.2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.2.2.2.2.1

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 2.2.2.2.2.2

Перенесем все в левую часть.

Приводим подобные члены и решаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.

Старший коэффициент положителен. Квадратичная функция принимает только положительные значения.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Находим общее решение.

Окончательный ответ:

.