Решение неравенств с произведением многочленов в числителе и знаменателе

Решение неравенств с произведением  многочленов в числителе и знаменателе

Отметим ОДЗ.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение 1

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 1.2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 1.3

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:

Ответ этого уравнения:
.

Уравнение 2

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит, уравнение имеет один корень.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ этого уравнения:

Уравнение 3

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения:

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 1:

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 2:

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай3:

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай
:
.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 5:

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Окончательный ответ:

Решим ещё одно похожее неравенство

Отметим ОДЗ.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение
.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай
.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай
.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Ответ этого уравнения:
.

Уравнение
.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ этого уравнения:
.

Уравнение
.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения:
.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 1 :
.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 2 :
.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 3:
.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 4:
.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай  5:
.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 6:
.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Окончательный ответ: