Решение неравенства с модулем квадратичной функциии в знаменателе

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.1

Изменяем порядок действий.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 1.2

Перенесем все в левую часть.

Отметим ОДЗ.

Изменяем порядок действий.

Выносим знак минус из произведения.

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение 1.2.1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ этого уравнения:
.

Уравнение 1.2.2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Ответ этого уравнения:
.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай  1.2.1 :

.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.2 :

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.3 :

.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.4

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак, ответ этого случая:
.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Случай 2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.1

Изменяем порядок действий.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.2

Перенесем все в левую часть.

Отметим ОДЗ.

Изменяем порядок действий.

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение 2.2.1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ этого уравнения:
.

Уравнение 2.2.2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения:

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 2.2.1 :
.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 2.2.2 :

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 2,2,3 :
.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай  2.2.4 :

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак, ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Полученные решения отметим на рисунках.

Найдем объединенное решение.

Окончательный ответ: нет решений.