Исследуем функцию в знаменетеле которой произведение линейных функций

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Данная функция определена для:

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

При делении неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай
.

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

При делении неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:
.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Ответ:
.

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся формулой производной произведения. Изменим знаки выражений на противоположные.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся формулой производной произведения. Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Выносим общий множитель. Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Точки пересечения с осью
: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Ответ: нет решений.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Итак, ответ этого случая:

Горизонтальные асимптоты:

Наклонные асимптоты: нет .

Предел данной функции на бесконечности равен числу
.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ:

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.

Ответ: нет решений.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Изменяем порядок действий.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Приводим подобные члены. Разложим числитель дроби на множители.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: нет