UTF-8" /> Исследование функции онлайн 4 степени | Уроки математики

Исследование функции онлайн 4 степени

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения: множество всех действительных чисел

Данная функция определена для:

Произведем проверку ОДЗ.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:
- любое.

Ответ:
- любое.

Первая производная:

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся правилом умножения дробей.

Воспользуемся свойством степеней.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся формулой производной произведения.

Раскрываем скобки.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Выносим знак минус из произведения.

Точки пересечения с осью

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ:
.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты: нет

Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение.

Воспользуемся свойством степеней.

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты:
.

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения горизонтальных асимптот преобразуем исходное выражение.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся формулой квадрата разности.

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

Предел данной функции на бесконечности равен числу

25

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Итак,ответ этого случая:
.

Ответ:
.

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Произведем замену переменных.

Пусть

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ вспомогательного уравнения:

.

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Итак,ответ этого случая:

.

Точки разрыва: нет

Симметрия относительно оси ординат: функция четная, график симметричен относительно оси
.

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Производим сокращение.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Приводим подобные члены.

Воспользуемся свойством степеней.

Результаты исследования функции занесем в таблицу. Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум.

(0,1 )

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение:

Наибольшее значение: нет