Тесты по математике. Исследование функции онлайн, содержащей квадратичную функцию в числителе и знаменателе.

Тесты по математике. Исследование функции онлайн и построение ее графика

Исследуем функцию онлайн, заданную формулой:

Тесты по математике. Исследование функции онлайн

Найдем область определения:

Данная функция определена для:

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

Когда вы сдаете тесты по математике, то при упрощении такого выражения надо помнить, что при делении неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.

Когда вы сдаете тесты по математике, то упрощаете такое выражение

Полученное решение отметим на рисунке.

решение  на рисунке

Сдавая тесты по математике , указываем ответ:

тесты по математике ответ .

Дальше исследуем функцию онлайн, найдя первую производную:

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Вторая производная:

При решении тестов по математике помним, что вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Если решаем тесты по математике, то  воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Точки пересечения с осью x: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет решений.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение.

Разложим числитель дроби на множители.

числитель дроби

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Горизонтальные асимптоты:
.

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения горизонтальных асимптот преобразуем исходное выражение.

Разложим числитель дроби на множители.

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

При исследовании функции онлайн выяснили, что  Предел данной функции на бесконечности равен числу 0.75

При исследовании функции онлайн обязательно надо найти критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ:

.

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При исследовании функции онлайн помним, что дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Сдавая тесты по математике, указываем правильный ответ:

правильный ответ

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Воспользуемся формулой квадрата разности и формулой квадрата суммы.

Раскрываем скобки  изменяем порядок действий, приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель дроби на множители.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Воспользуемся формулой квадрата разности.

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

Раскрываем скобки.

Изменяем порядок действий.

Приводим подобные члены и раскрываем скобки.

Разложим числитель дроби на множители.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу. Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Множество значений функции

Наименьшее значение:

Наибольшее значение: нет