Тесты по математике. Решение неравенств онлайн, содержащих модуль в знаменателе и квадратичную функцию в числителе

Тесты по математике. Решение неравенств онлайн, содержащих модуль

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.1

Изменяем порядок действий.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 1.2

Перенесем все в левую часть.

Отметим ОДЗ.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение 1.2.1

Отметим ОДЗ.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Произведем замену переменных.

Пусть

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ вспомогательного уравнения:

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Ответ этого уравнения:

.

Произведем проверку ОДЗ.

Этот корень удовлетворяет   ОДЗ.

Ответ этого уравнения:

.

Уравнение 1.2.2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Ответ этого уравнения:

.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 1.2.1:

.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.2:

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.3:
.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.4 :

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.5:

.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак, ответ этого случая:

.

Случай 2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.1

Изменяем порядок действий.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.2

Перенесем все в левую часть.

Отметим ОДЗ.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение 2.2.1

Отметим ОДЗ.

Произведем замену переменных.

Пусть

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель дроби на множители.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ вспомогательного уравнения:
.

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Ответ этого уравнения:

.

Произведем проверку ОДЗ.

удовлетворяет ОДЗ.

удовлетворяет ОДЗ.

*  

Ответ этого уравнения:
.

Уравнение 2.2.2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения:

.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 2.2.1

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 2.2.2

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 2.2.3

.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 2.2.4

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 2.2.5

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак, ответ этого случая:

.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:
.

Полученные решения отметим на рисунках.

Найдем объединенное решение.

Окончательный ответ:

.