Решение неравенства с модулем в знаменателе

Решение неравенства с модулем в знаменателе

Воспользуемся определением абсолютной величины.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.1

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 1.2

Отметим ОДЗ.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение 1.2.1

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ этого уравнения:
.

Уравнение 1.2.2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения:
.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 1.2.1 :
.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.2 :
.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.3:
.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 1.2.4 :
.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:
.

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.1

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.2.

Отметим ОДЗ.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение
.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ этого уравнения:
.

Уравнение 2.2.2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Ответ этого уравнения:

.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 2.2.1:
.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 2.2.2:

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 2.2.3:

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Итак,ответ этого случая:

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Полученные решения отметим на рисунках.

Найдем объединенное решение.

Окончательный ответ:
.