Нестандартные способы решения решение квадратных уравнений. Метод замены

Решить уравнение

Отметим ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ .

Перенесем все в левую часть.

Произведем замену переменных.

Пусть

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ вспомогательного уравнения:
.

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Перенесем все в левую часть.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Изменяем порядок действий.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит,  уравнение имеет один корень.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Перенесем все в левую часть.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Изменяем порядок действий.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Ответ этого уравнения:

.

Произведем проверку ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ .

*

удовлетворяет ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ .

Окончательный ответ:

.