Архив рубрики «Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства»

Исследование функции онлайн, функции третьей , четвертой степени

Исследуем функции онлайн, заданной  формулой:

Область определения:

Данная функция определена для:

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:
.

Для исследовании функции онлайн найдем первую  производную:

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней, Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Вторая производная:

Для исследования функции оналай найдём вторую производную.

Вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Точек  пересечения с осью х  нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Левая часть уравнения принимает только положительные значения.

Ответ: нет решений.

Точки пересечения с осью y:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты: нет.

Наклонные асимптоты:

Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение.

Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой.

Раскрываем скобки.

Предел разности исходной функции и функции
на бесконечности равен нулю.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Разложим одночлены в сумму нескольких.

Изменяем порядок действий.

Производим группировку.

Выносим общий множитель.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Случай
.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ этого случая:

Ответ:

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.

Ответ: нет решений.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой.

Раскрываем скобки.

Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Разложим числитель дроби на множители.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x)

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой.  Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель дроби на множители.

Тестовые интервалы:

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум

.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции следующее: