December 14, 2017 Решаем неравенство с четвертой степенью интервалов

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательное уравнение.

Уравнение 1

Изменяем порядок действий.

Производим группировку.

Выносим общий множитель.

Добавим и вычтем одинаковые слагаемые.

Воспользуемся формулой квадрата разности.

Произведем замену переменных.

Пусть

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ вспомогательного уравнения:

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.1

Перенесем все в левую часть.

Преобразуем деление в дробь.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Изменяем порядок действий.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 1.2

Перенесем все в левую часть.

Преобразуем деление в дробь.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Изменяем порядок действий.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак, ответ этого случая:

Ответ этого уравнения:

.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 1  :

Пусть

Итак,

этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 2 :

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 3 :

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 4 :

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 5 :

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Окончательный ответ:

.