Решение неравенств с линейной функцией в правой части

Решение неравенств с линейной функцией в правой  части

Если в правой части неравенства стоит линейная функция, то сначала перенесем все в левую часть.

Отметим область допустимых значений

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки и приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель дроби на множители.

Изменим знаки выражений на противоположные.

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение 1

Выносим общий множитель.

Ответ этого уравнения:
.

Уравнение 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения:
.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 1 :

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 2:
.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 3 :

.

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 4:

.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Числа 0, 4  удовлетворяют неравенству.

Число 3  не удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Указываем окончательный ответ:

.

Решим еще одно уравнение

Перенесем все в левую часть.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Далее рассматриваем следующее неравенство

Решаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит,  уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

После решения это неравенства указываем окончательный ответ:

.