Каталог примеров

Решение неравенств с произведением квадратичных функций в числителе и знаменателе

Решение неравенств с произведением квадратичных функций в числителе и знаменателе

Отметим ОДЗ.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Теперь чтобы решить это неравенство нам необходимо  вначале решить

Уравнение 1

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая: .

Случай 1.2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая: .

Ответ этого уравнения: .

Уравнение 2

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ этого уравнения: .

Уравнение 3

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения: .

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 1 :

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 2 :

.

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 3 : .

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 4 : .

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 5 : .

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 6: .

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Окончательный ответ: .

Решим еще одно подобное неравенство:

Отметим ОДЗ.

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательные уравнения.

Уравнение .

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.1

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак,ответ этого случая: .

Случай 1.2

Теперь для решения неравенства  перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая: .

Ответ этого уравнения: .

Уравнение 2

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ этого уравнения: .

Уравнение 3

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения: .

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Расчет знаков.

Случай 1 : .

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 2: .

Пусть

Итак, этот случай не удовлетворяет неравенству.

Случай 3

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Случай 4 :

Пусть

Итак, этот случай удовлетворяет неравенству.

Полученное решение отметим на рисунке.

Окончательный ответ: .