Решение уравнения с заменой переменных

Решение уравнения с заменой переменных

исходное уравнение

Отметим область допустимых значений .

область допустимых значений .

Перенесем все в левую часть.

Произведем замену переменных.

Пусть
замена переменных

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

раскрытие скобок

Приводим подобные члены.

приведение подобных членов

Изменяем порядок действий.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ вспомогательного уравнения:

.

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Перенесем все в левую часть.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Случай 2

Перенесем все в левую часть.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак, ответ этого случая:

.

Ответ этого уравнения:

.

Произведем проверку ОДЗ.

проверка области допустимых значений

удовлетворяет ОДЗ.

удовлетворяет ОДЗ.

Окончательный ответ:

ответ.

Комментарии закрыты.