Простейшие показательные уравнения с переменной в основании степени на тестах по математике

Введем определение. Простейшим показательным уравнением с переменным основанием степени называется уравнение вида:

Простейшее показательное уравнением с переменным

где a – параметр или функция переменной x.

Если в основании степени простейшего показательного уравнения стоит переменная, то такое уравнение имеет одну существенную особенность. Дело в том что теорема о логарифмировании простейшего показательного уравнения справедлива лишь в том случае, когда основание степени больше нуля и не равно единице. Поэтому, прежде, чем логарифмировать это уравнение, необходимо отдельно рассмотреть остальные случаи: среди них может оказаться решение уравнения!

Решение простейших показательных уравнений с переменным основанием степени требует рассмотрения трех случаев:

1. основание степени положительно и не равно единице (в этом случае уравнение можно логарифмировать);

2. основание равно единице (требует специального рассмотрения);

3. основание равно нулю (требует специального рассмотрения). Записываются эти случаи в виде совокупности систем.

Не логарифмируйте уравнение по основанию, содержащему переменную.

Помните, что в основании степени может быть 1, а основание логарифмов не может быть равно 1. Гораздо проще решать такое уравнение с помощью логарифмирования по известному основанию, например, взять десятичный логарифм. При этом равенство единице основания степени можно не проверять (а отрицательное и нулевое основания степени все еще требуют рассмотрения и анализа!).

Рассмотрим  решение такого показательного уравнения онлайн

Рассмотрим несколько возможных случаев, в зависимости от основания x.

1. Пусть


,

тогда

- оба корня входят в промежуток

и не равны 1.

2. Положим, что

x = 1,

тогда получим

значит,

x = 1

удовлетворяет уравнению.

3. При

x = 0

получим

значит

x = 0

не удовлетворяет уравнению.

Сдавая тесты по математике , указываем ответ:

Решим еще одно показательное уравнение онлайн

Решение

Положим, что


и

при этом значение

знаменатель дроби

не равен нулю и дробь определена,  получим уравнение:

поскольку в условии есть требование

тогда получим, что x = 5.

При

x = 3

получим

, но

неопределенное выражение, значит


.

При

x = 4

получим

значит,  x = 4  удовлетворяет уравнению.

На тестах по математике указываем еще один ответ -

Введем еще определение, чтобы решить другие показательные уравнения онлайн.

Простейшим показательным уравнением с одинаковыми переменными основаниями степеней называется уравнение вида:



,

где а
- параметр или функция переменной
х.

Строго говоря, уравнение вида

не является простейшим показательным уравнением. Однако его можно привести к простейшему показательному уравнению:

Чтобы не делать каждый раз этого простого преобразования мы в дальнейшем уравнение вида


будем называть простейшим показательным уравнением с одинаковыми основаниями степеней. (Если говорить уж очень строго, такое уравнение следует назвать обобщенным простейшим показательным уравнением.)

Пример:


Решение простейших показательных уравнений с одинаковыми переменными основаниями степеней требует рассмотрения трех случаев:

1. основание степеней положительно и не равно единице (в этом случае уравнение можно логарифмировать или прямо использовать теорему о решении простейшего показательного неравенства с одинаковыми переменными основаниями степеней);

2. основание равно единице (требует специального рассмотрения);

3. основание равно нулю (требует специального рассмотрения). Записываются эти случаи в виде совокупности систем.

Решите уравнение

Решение

Положим, что

и

и, учитывая,  тождество

получим уравнение:

Значение переменной

противоречит условию

и, в этом случае, не является корнем уравнения.

Исследуем уравнение в точках

При

x = 3

получим

значит

x = 3

является корнем уравнения.

При x = 2 получим

значит, x = 2 является корнем уравнения.

При x = 4 получим

значит  x = 4 является корнем уравнения.

Указываем ответ: