December 14, 2017 Тесты по математике . Построение графика дробно-линейной функции

Когда сдаются тесты по математике, часто предлагается построить график дробно-линейной функции.

График дробно линейной функции  состоит из 2 веток, симметричных относительно наклонной асимптоты и осей координат.

Решая тесты по математике, нужно привести полный ход построения

Область определения:

Данная функция определена для:

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:

.

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной частного.

=

Раскрываем скобки.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

=

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Точки пересечения с осью

:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ:

.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты: нет .

Наклонные асимптоты:
 .

Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение.

=

Раскрываем скобки.

=

Предел разности исходной функции и функции
 на бесконечности равен нулю.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ:
.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Ответ: нет решений.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

=

Выносим знак минус из произведения.

=

Выносим знак минус из произведения.

=

Приводим дроби к общему знаменателю.

=

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

=

Раскрываем скобки.

=

Изменяем порядок действий.

Приводим подобные члены.

=

Раскрываем скобки.

=

Приводим подобные члены.

=

Разложим числитель дроби на множители.

=

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

=

Выносим знак минус из произведения.

=

Выносим знак минус из произведения.

=

Приводим дроби к общему знаменателю.

=

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

=

Раскрываем скобки.

=

Изменяем порядок действий.

Приводим подобные члены.

=

Раскрываем скобки.

=

Приводим подобные члены.

=

Разложим числитель дроби на множители.

=

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Тестовые интервалы:

характер графика

-

+

-

возрастает,выпукла вверх

+

-

+

+

-

возрастает,выпукла вверх

-

относительный максимум

+

-

-

убывает,выпукла вверх

-

-

-

-

-

убывает,выпукла вверх

неопределено

неопределено

неопределено

вертикальная асимптота

+

-

+

убывает,выпукла вниз

+

относительный минимум

+

+

+

возрастает,выпукла вниз

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум
.

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум
.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: нет