Тесты по математике. Исследование дробно-рациональной функции и построения ее графика

Сайт Тесты по математике предлагает вам рассмотреть образец построения графика.

Итак, тесты по математике . Пример на исследование функции и построения ее графика

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Данная функция определена для:

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:
.

Продолжим исследование функции. Найдем первую производную:

Воспользуемся формулой производной частного.

=

=

=

=

Раскрываем скобки.

=

=

Продолжим исследование функции, надйя вторую производную.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного.

=

Воспользуемся свойством степеней.

=

=

Для дальнего исследования функции и построения ее графика  воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

=

=

Раскрываем скобки.

=

Выносим общий множитель.

=

=

Воспользуемся свойством степеней.

=

Для построения графика функции найдем точки пересечения с осью

OX

Следующий этап исследования функции - нахождение точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Итак, ответ этого случая: x=0

Случай 2

Воспользуемся формулой Кардано.

Итак, ответ этого случая:
.

Ответ:
.

Далее для построения графика функции найдем точки пересечения с осью y

Пусть  x=0

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты: нет .

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения асимптот преобразуем исходное выражение.

=

 стремится к бесконечности при x,

Стремящемся к бесконечности.

Критические точки: Не могут быть найдены точно с помощью UMS.

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решение данного примера выходит за рамки школьного курса.

Советуем проверить условие.

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Воспользуемся формулой Кардано.

Итак, ответ этого случая:

.

Ответ:
.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Следующий этап исследования функции и построения ее графика – определение, является ли функция четной или нечетной.

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

=

Выносим знак минус из произведения.

=

Выносим знак минус из произведения.

=

Приводим дроби к общему знаменателю.

=

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

=

Раскрываем скобки.

=

Изменяем порядок действий.

Приводим подобные члены.

=

Раскрываем скобки.

=

Приводим подобные члены.

=

Разложим числитель дроби на множители.

=

Симметрия относительно начала координат: нет

Далее исследуем функцию на предмет того, является ли она нечетной.

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

=

Выносим знак минус из произведения.

=

Выносим знак минус из произведения.

=

Приводим дроби к общему знаменателю.

=

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

=

Раскрываем скобки.

=

Изменяем порядок действий.

Приводим подобные члены.

=

Раскрываем скобки.

=

Приводим подобные члены.

=

=

Тестовые интервалы:

Используя результаты исследования функции, строим ее график.