UTF-8" /> Репетитор по математике | физике | программированию | в Харькове

Исследование дробной функции и построение ее графика

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Область значений данной функции –это все числа, кроме тех, когда знаменателеь обращается в 0 .

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательное уравнение.

Уравнение 1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения:
.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:

Для исследования функции найдет первую производную

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Выносим знак минус из произведения.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся формулой производной произведения.

Раскрываем скобки.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Раскрываем скобки, используя распределительный закон умножения

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Выносим знак минус из произведения.

Точки пересечения с осью x:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ:

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты:

Наклонные асимптоты: нет

Предел данной функции на бесконечности равен числу 0

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Итак, ответ этого случая: нет решений.

Ответ:
.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Левая часть уравнения принимает только положительные значения.

Ответ: нет решений.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: функция четная, график симметричен относительно оси
.

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Производим сокращение.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Приводим подобные члены.

Тестовые интервалы:

Относительные экстремумы:

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с  плюса на минус.

Относительный максимум находится в точке (0,0).

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции: множество всех действительных чисел

Наименьшее значение и наибольшее значение: у функции нет наименьшего и наибольшего значения