Каталог примеров

Исследование дробно-рациональной функции и построения ее графика

Пример на исследование функции и построения ее графика Функция задана формулой на этом изображении функция задана формулой Область определения: область определения функции Данная функция определена для: Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком. пененесение известных величин в правую часть Полученное решение отметим на рисунке. решение на рисунке Ответ: . Продолжим исследование функции. Найдем первую производную: нахождение первой производной Воспользуемся формулой производной частного. Раскрываем скобки. Продолжим исследование функции, найдя вторую производную. Вторая производная: Вторая производная это производная от первой производной. Воспользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней. Для дальнего исследования функции и построения ее графика  воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Раскрываем скобки. Выносим общий множитель. Воспользуемся свойством степеней. Для построения графика функции найдем точки пересечения с осью OX Следующий этап исследования функции - нахождение точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Решаем уравнение методом разложения на множители. Выносим общий множитель. Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Итак, ответ этого случая: x=0 Случай 2 Воспользуемся формулой Кардано. Итак, ответ этого случая: . Ответ: . Далее для построения графика функции найдем точки пересечения с осью y Пусть  x=0 Вертикальные асимптоты: Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Горизонтальные асимптоты: нет . Наклонные асимптоты: нет . Для нахождения асимптот преобразуем исходное выражение. стремится к бесконечности при x, стремящемся к бесконечности. Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Решение данного примера выходит за рамки школьного курса. Советуем проверить условие. Возможные точки перегиба: Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Следующее уравнение равносильно предыдущему. Решаем уравнение методом разложения на множители. Выносим общий множитель. Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 Итак,ответ этого случая: . Случай 2 Воспользуемся формулой Кардано. Итак, ответ этого случая: . Ответ: . Точки разрыва: Симметрия относительно оси ординат: нет Следующий этап исследования функции и построения ее графика – определение, является ли функция четной или нечетной. Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x). Выносим знак минус из произведения. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Разложим числитель дроби на множители. Симметрия относительно начала координат: нет Далее исследуем функцию на предмет того, является ли она нечетной. Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x). Выносим знак минус из произведения. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Тестовые интервалы: Используя результаты исследования функции, строим ее график.