Исследование дробно-рациональной функции и построения ее графика

Пример на исследование функции и построения ее графика

Функция задана формулой
на этом изображении функция задана формулой

Область определения:
область определения функции

Данная функция определена для:

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

пененесение известных величин в правую часть

Полученное решение отметим на рисунке.

решение на рисунке

Ответ:
.

Продолжим исследование функции. Найдем первую производную:
нахождение первой производной

Воспользуемся формулой производной частного.

Раскрываем скобки.

Продолжим исследование функции, найдя вторую производную.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Для дальнего исследования функции и построения ее графика  воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Для построения графика функции найдем точки пересечения с осью

OX

Следующий этап исследования функции - нахождение точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Итак, ответ этого случая: x=0

Случай 2

Воспользуемся формулой Кардано.

Итак, ответ этого случая:
.

Ответ:
.

Далее для построения графика функции найдем точки пересечения с осью y

Пусть  x=0

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты: нет .

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения асимптот преобразуем исходное выражение.

стремится к бесконечности при x, стремящемся к бесконечности.

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решение данного примера выходит за рамки школьного курса.

Советуем проверить условие.

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Воспользуемся формулой Кардано.

Итак, ответ этого случая:

.

Ответ:
.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Следующий этап исследования функции и построения ее графика – определение, является ли функция четной или нечетной.

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Изменяем порядок действий.

Приводим подобные члены.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Разложим числитель дроби на множители.

Симметрия относительно начала координат: нет

Далее исследуем функцию на предмет того, является ли она нечетной.

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Изменяем порядок действий.

Приводим подобные члены.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Тестовые интервалы:

Используя результаты исследования функции, строим ее график.

Комментарии закрыты.