Пример на исследование функции и построения ее графика
Функция задана формулой
Область определения:
Данная функция определена для:
Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.
Полученное решение отметим на рисунке.
Ответ:
.
Продолжим исследование функции. Найдем первую производную:
Воспользуемся формулой производной частного.
Раскрываем скобки.
Продолжим исследование функции, найдя вторую производную.
Вторая производная:
Вторая производная это производная от первой производной.
Воспользуемся формулой производной частного.
Воспользуемся свойством степеней.
Для дальнего исследования функции и построения ее графика воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.
Раскрываем скобки.
Выносим общий множитель.
Воспользуемся свойством степеней.
Для построения графика функции найдем точки пересечения с осью
OX
Следующий этап исследования функции - нахождение точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.
Решаем уравнение методом разложения на множители.
Выносим общий множитель.
Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Итак, ответ этого случая: x=0
Случай 2
Воспользуемся формулой Кардано.
Итак, ответ этого случая:
.
Ответ:
.
Далее для построения графика функции найдем точки пересечения с осью y
Пусть x=0
Вертикальные асимптоты:
Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль
Перенесем известные величины в правую часть уравнения.
Горизонтальные асимптоты: нет .
Наклонные асимптоты: нет .
Для нахождения асимптот преобразуем исходное выражение.
стремится к бесконечности при x, стремящемся к бесконечности.
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.
Решение данного примера выходит за рамки школьного курса.
Советуем проверить условие.
Возможные точки перегиба:
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.
Следующее уравнение равносильно предыдущему.
Решаем уравнение методом разложения на множители.
Выносим общий множитель.
Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.
Случай 1
Итак,ответ этого случая:
.
Случай 2
Воспользуемся формулой Кардано.
Итак, ответ этого случая:
.
Ответ:
.
Точки разрыва:
Симметрия относительно оси ординат: нет
Следующий этап исследования функции и построения ее графика – определение, является ли функция четной или нечетной.
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
Выносим знак минус из произведения.
Выносим знак минус из произведения.
Приводим дроби к общему знаменателю.
Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Раскрываем скобки.
Изменяем порядок действий.
Приводим подобные члены.
Раскрываем скобки.
Приводим подобные члены.
Разложим числитель дроби на множители.
Симметрия относительно начала координат: нет
Далее исследуем функцию на предмет того, является ли она нечетной.
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
Выносим знак минус из произведения.
Выносим знак минус из произведения.
Приводим дроби к общему знаменателю.
Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Раскрываем скобки.
Изменяем порядок действий.
Приводим подобные члены.
Раскрываем скобки.
Приводим подобные члены.
Тестовые интервалы:
Используя результаты исследования функции, строим ее график.
