Каталог примеров

Исследование функции с числителем пятой степени

Исследуем функцию, заданную формулой: Область определения: Данная функция определена для: * Полученное решение отметим на рисунке. Ответ: Первая производная: Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции. Воспользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней. Раскрываем скобки и выносим общий множитель. Воспользуемся свойством степеней. Воспользуемся правилом умножения дробей. Изменим знаки выражений на противоположные. Вторая производная: Вторая производная это производная от первой производной. Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции. Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции. Воспользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней. Воспользуемся правилом умножения дробей. Изменим знаки выражений на противоположные. Точки пересечения с осью x: Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Решаем уравнение методом разложения на множители. Выносим общий множитель. Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 Итак, ответ этого случая: Случай 2 Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Итак, ответ этого случая: не входит в ОДЗ функции. Ответ: Точки пересечения с осью : нет Вертикальные асимптоты: Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Производим сокращение. Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль Горизонтальные асимптоты: . Наклонные асимптоты: нет . Предел данной функции на бесконечности равен числу . Критические точки: Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Решаем уравнение методом разложения на множители. Выносим общий множитель. Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 Итак, ответ этого случая: * Случай 2 Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Итак, ответ этого случая: 0 не входит в ОДЗ функции. Ответ: Возможные точки перегиба: Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Следующее уравнение равносильно предыдущему. Решаем уравнение методом разложения на множители. Выносим общий множитель. Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 Итак,ответ этого случая: Случай 2 Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Итак,ответ этого случая: не входит в ОДЗ функции Ответ: Точки разрыва: Симметрия относительно оси ординат: нет Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x). Выносим знак минус из произведения. Выносим знак минус из произведения. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки и приводим подобные члены. Симметрия относительно начала координат: нет Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x). Выносим знак минус из произведения. Разложим числитель и знаменатель дроби на множители и производим сокращение. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Приводим подобные члены и выносим знак минус из произведения. Тестовые интервалы: Результаты исследования функции занесем в таблицу. Относительные экстремумы: Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум . Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график. Множество значений функции: Наименьшее значение: нет Наибольшее значение: