Исследование функции с числителем пятой степени

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Данная функция определена для:

*

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:

Первая производная:

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Раскрываем скобки и выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом умножения дробей.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом умножения дробей.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Точки пересечения с осью x:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак, ответ этого случая:

Случай 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак, ответ этого случая:

не входит в ОДЗ функции.

Ответ:

Точки пересечения с осью
: нет

Вертикальные асимптоты:

Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Горизонтальные асимптоты:
.

Наклонные асимптоты: нет .

Предел данной функции на бесконечности равен числу
.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак, ответ этого случая:

*

Случай 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак, ответ этого случая:

0 не входит в ОДЗ функции.

Ответ:

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:

Случай 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:

не входит в ОДЗ функции

Ответ:

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки и приводим подобные члены.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители и производим сокращение.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Приводим подобные члены и выносим знак минус из произведения.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум
.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: