UTF-8" /> Репетитор по математике | физике | программированию | в Харькове

Исследование функции онлайн с кубической функцией в числителе

Исследование функции онлайн с кубической функцией

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Данная функция определена для все значений кроме

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней и раскрываем скобки

Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Точки пересечения с осью x: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай
.

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

не входит в ОДЗ функции.

Ответ: нет решений.

Точки пересечения с осью
: нет

Вертикальные асимптоты:

Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Горизонтальные асимптоты:
.

Наклонные асимптоты: нет .

Предел данной функции на бесконечности равен числу
.

Критические точки: нет

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит, уравнение не имеет корней.

Итак, ответ этого случая: нет решений.

0 не входит в ОДЗ функции.

Ответ: нет решений.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак, ответ этого случая:

Случай 2

Находим дискриминант.

Дискриминант отрицателен, значит, уравнение не имеет корней.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

не входит в ОДЗ функции.

Ответ: нет решений.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Производим сложение дробей

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Разложим числитель дроби на множители.

Разложим числитель дроби

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Разложим числитель дроби на множители.

Производим сокращение.

Тестовые интервалы:

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.