December 14, 2017 Исследование функции с многочленом шестой степени в числителе

Исследование функции с многочленом шестой степени в числителе

Область определения:

Данная функция определена для:

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Выносим общий множитель.

Раскрываем скобки.

Воспользуемся свойством степеней.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся формулой производной произведения.

Воспользуемся свойством степеней.

Точки пересечения с осью x:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

не входит в ОДЗ функции.

Ответ:

Точки пересечения с осью y: нет

Вертикальные асимптоты: нет

Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Разложим числитель дроби на множители.

Производим сокращение.

Горизонтальные асимптоты: нет .

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения асимптот преобразуем исходное выражение.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Разложим числитель дроби на множители.

Производим сокращение.

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

стремится к бесконечности при x  стремящемся к бесконечности.

стремится к бесконечности при x  стремящемся к бесконечности.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Случай 1

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 1.2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.2.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Итак,ответ этого случая:
.

0  не входит в ОДЗ функции.

Ответ:
.

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай
.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

не входит в ОДЗ функции.

Ответ:

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Разложим числитель дроби на множители.

Производим сокращение.

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

Воспользуемся формулой квадрата разности.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Разложим числитель дроби на множители.

Производим сокращение.

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

Воспользуемся формулой квадрата разности.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум во такок
.

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум вот такой
.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции: множество всех действительных чисел

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: нет