Исследование графика функции с многочленом четвертой степени в знаменателе

Исследование графика функции онлайн  и построение ее графика

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения: множество всех действительных чисел

Данная функция определена для:

Произведем проверку ОДЗ.

Находим общее решение.

Итак, ответ этого случая: x - любое.

Ответ: x - любое.

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной частного.

Раскрываем скобки и делаем алгебраические преобразования

Изменим знаки выражений на противоположные.

Теперь найдем вторую производную

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Раскрываем скобки и выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Точки пересечения с осью x:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ:
.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты: нет

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты:
.

Наклонные асимптоты: нет .

Предел данной функции на бесконечности равен числу
.

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Решение данного примера выходит за рамки школьного курса.

Советуем проверить условие.

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай
.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Изменяем порядок действий и производим группировку.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.1

Производим группировку.

Пусть

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ вспомогательного уравнения:

.

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Ответ этого случая:

.

Случай
.

ответ этого случая: нет решений.

Итак, ответ случая 2.1 :

.

Случай
.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:

.

Ответ:
.

Точки разрыва: нет

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Тестовые интервалы:

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.