Исследовать функцию высших степеней и построить ее график

Исследовать функцию высших степеней и построить ее график:

Исследовать функцию высших степеней и построить ее график:

При сдаче такого экзамена, как тесты по математике необходимо  во многих примерах найти область определения: множество всех действительных чисел.

Первая производная:

Производная суммы равна сумме производных.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся правилом производной степени .

Раскрываем скобки.

Производим группировку.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная суммы равна сумме производных.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся правилом производной степени .

Раскрываем скобки.

Производим группировку.

Точки пересечения с осью
:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Произведем замену переменных.

Пусть

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Выносим общий множитель.

Ответ вспомогательного уравнения:

.

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак, ответ этого случая:

Случай 2

Итак,ответ этого случая:

.

Сдавая тесты по математике, указываем такой ответ:

.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты: нет

Горизонтальные асимптоты: нет .

Наклонные асимптоты: нет .

стремится к бесконечности при
стремящемся к бесконечности.

стремится к бесконечности при
стремящемся к бесконечности.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Итак,ответ этого случая:
.

Ответ:
Разделим левую и правую часть уравнения на .

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ:
.

Точки разрыва: нет

Симметрия относительно оси ординат: функция четная, график симметричен относительно оси F.

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

Раскрываем скобки.

Выносим знак минус из произведения.

Производим сокращение.

=

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

Раскрываем скобки.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим подобные члены.

Для дальнейшего упрощения этого теста по математике выносим знак минус из произведения.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум
.

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум

.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение:

Наибольшее значение: нет