Исследование функции онлайн, заданной частным квадратичной и кубичной функций

Исследуем функцию онлайн

Исследуем функцию онлайн

Сдавая тесты по математике, при решении примеров находи вначале Область определения:

Сдавая тесты по математике находим Область определения

Данная функция определена для:

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:

.

Исследуем функцию онлайн дальше

Первая производная:

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Производная произведения константы

Воспользуемся формулой производной частного.

Выносим общий множитель.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Выносим знак минус из произведения.

Теперь, чтобы исследовать функцию онлайн, найдем  вторую производную:

Вторая производная это производная от первой производной.

Вторая производная

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Производная произведения

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся формулой производной произведения.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Раскрываем скобки и выносим общий множитель.

Раскрываем скобки и выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Точки пересечения с осью x

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ:

.

Точки пересечения с осью y:

Точки пересечения с осью

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты:

Горизонтальные асимптоты .

Наклонные асимптоты: нет .

Предел данной функции на бесконечности равен числу
Предел функции.

Критические точки:

Критические точки функции

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Изменим знаки выражений

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Перенесем известные величины

Итак, ответ этого случая:

Ответ:

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Дробь обращается в нуль

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Произведем замену переменных.

Сделаем замену

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

дискриминант

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ вспомогательного уравнения:

.

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 2.

Итак, ответ этого случая:

.

Ответ:

.

Точки разрыва:

Точки разрыва функции

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x) f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x) - f(x). Проверим нечетность

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум

.

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции: множество всех действительных чисел

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: нет