December 14, 2017 Исследуем онлайн функцию, заданную многочленом четвертой степени в числителе

Исследуем онлайн функцию, заданную формулой:

Исследуем  функцию онлайн

Вначале найдем область определения:

область определения

Данная функция определена для:

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

неравенства c противоположным знаком.

Полученное решение отметим на рисунке.

Указываем правильный ответ:

.

Найдем первую  производная, воспользовавшись  формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

правило нахождения производной

Раскрываем скобки и выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Вторая производная:
Вторая производная

Вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

правило нахождения производной

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Выносим общий множитель

Воспользуемся свойством степеней.

Точки пересечения с осью
: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения

Ответ: нет решений.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Для нахождения вертикальных асимптот упростим выражение.

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

коэффициент при неизвестном

Горизонтальные асимптоты: нет .

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения асимптот преобразуем исходное выражение.

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

Раскрываем скобки.

стремится к бесконечности при х,  стремящемся к бесконечности.

Данное выражение стремится к бесконечности при х, стремящемся к бесконечности.

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

нахождение критических точек

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Дробь обращается

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решение данного примера выходит за рамки школьного курса.

Советуем проверить условие.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

уравнение равносильно предыдущем.

Левая часть уравнения принимает только положительные значения.

Ответ: нет решений.

Находим точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Воспользуемся формулой квадрата разности и формулой квадрата суммы, после чего приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель дроби на множители.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

определение четная ли функция

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Воспользуемся формулой квадрата разности.

Воспользуемся формулой квадрата суммы, потом раскрываем скобки и разложим числитель дроби на множители.

Тестовые интервалы:

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

график функции