Построение графика с кубической функцией в числителе и линейной в знаменателе

Исследуем функцию, заданную формулой: Область определения: Данная функция определена для: Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком. При делении неравенства на положительное число знак неравенства не меняется. Полученное решение отметим на рисунке. Ответ: . Первая производная: Воспользуемся формулой производной частного. Вторая производная: Вторая производная это производная от первой производной. Воспользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней. Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Раскрываем скобки. Выносим общий множитель. Воспользуемся свойством степеней. Точки пересечения с осью x: Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Решаем уравнение методом разложения на множители. Разложим одночлены в сумму нескольких. Производим группировку. Выносим общий множитель. Выносим общий множитель. Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Итак,ответ этого случая: . Случай 2 Находим дискриминант. Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Итак,ответ этого случая: . Ответ: Точки пересечения с осью : Пусть Вертикальные асимптоты: Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном. Горизонтальные асимптоты: нет . Наклонные асимптоты: нет . Для нахождения асимптот преобразуем исходное выражение. Раскрываем скобки. стремится к бесконечности при стремящемся к бесконечности. стремится к бесконечности при стремящемся к бесконечности. Критические точки: Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Решаем уравнение методом разложения на множители. Разложим одночлены в сумму нескольких. Производим группировку. Выносим общий множитель. Выносим общий множитель. Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи. Случай 1 Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Итак,ответ этого случая: . Случай 2 Находим дискриминант. Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней. Итак,ответ этого случая: нет решений. Ответ: Возможные точки перегиба: Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Следующее уравнение равносильно предыдущему. Производим группировку. Произведем замену переменных. Пусть В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение. Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Ответ вспомогательного уравнения: . В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Приводим подобные члены. Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном. Ответ: . Точки разрыва: Симметрия относительно оси ординат: нет Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x). Выносим знак минус из произведения. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Выносим знак минус из произведения. Разложим числитель дроби на множители. Симметрия относительно начала координат: нет Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x). Выносим знак минус из произведения. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Разложим числитель дроби на множители. Тестовые интервалы: Относительные экстремумы: Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график. Множество значений функции: множество всех действительных чисел Наименьшее значение: нет Наибольшее значение: нет