Построение графика с кубической функцией в числителе и линейной в знаменателе

Исследуем функцию, заданную формулой:

[Image]

Область определения:

[Image]

Данная функция определена для:

[Image]

Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.

[Image]

[Image]

При делении неравенства на положительное число знак неравенства не меняется.

[Image]

[Image]

Полученное решение отметим на рисунке.

[Image]

Ответ:
[Image].

Первая производная:
[Image]

[Image]

Воспользуемся формулой производной частного.

[Image]

Вторая производная:

[Image]

Вторая производная это производная от первой производной.

[Image]

Воспользуемся формулой производной частного.

[Image]

Воспользуемся свойством степеней.

[Image]

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

[Image]

Раскрываем скобки.

[Image]

Выносим общий множитель.

[Image]

Воспользуемся свойством степеней.

[Image]

Точки пересечения с осью x:

[Image]

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

[Image]

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

[Image]

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Разложим одночлены в сумму нескольких.

[Image]

Производим группировку.

[Image]

Выносим общий множитель.

[Image]

Выносим общий множитель.

[Image]

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

[Image]

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

[Image]

Итак,ответ этого случая:
[Image].

Случай 2

[Image]

Находим дискриминант.

[Image]

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

[Image]

[Image]

Итак,ответ этого случая:
[Image].

Ответ:

[Image]

Точки пересечения с осью
[Image]:
[Image]

Пусть

[Image]

[Image]

Вертикальные асимптоты:
[Image]

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

[Image]

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

[Image]

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

[Image]

[Image]

Горизонтальные асимптоты: нет .

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения асимптот преобразуем исходное выражение.

[Image]

[Image]

Раскрываем скобки.

[Image]

[Image] стремится к бесконечности при
[Image] стремящемся к бесконечности.

[Image] стремится к бесконечности при
[Image] стремящемся к бесконечности.

Критические точки:
[Image]

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

[Image]

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

[Image]

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Разложим одночлены в сумму нескольких.

[Image]

Производим группировку.

[Image]

Выносим общий множитель.

[Image]

Выносим общий множитель.

[Image]

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

[Image]

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

[Image]

Итак,ответ этого случая:
[Image].

Случай 2

[Image]

Находим дискриминант.

[Image]

Дискриминант отрицателен, значит уравнение не имеет корней.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Ответ:

[Image]

Возможные точки перегиба:

[Image]

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

[Image]

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

[Image]

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

[Image]

[Image]

Производим группировку.

[Image]

[Image]

Произведем замену переменных.

Пусть

[Image]

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

[Image]

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

[Image]

Ответ вспомогательного уравнения:
[Image].

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

[Image]

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

[Image]

Приводим подобные члены.

[Image]

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

[Image]

[Image]

Ответ:

[Image].

Точки разрыва:

[Image]

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

[Image]

[Image]

Выносим знак минус из произведения.

[Image]

Выносим знак минус из произведения.

[Image]

Приводим дроби к общему знаменателю.

[Image]

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

[Image]

Раскрываем скобки.

[Image]

Изменяем порядок действий.

Приводим подобные члены.

[Image]

Раскрываем скобки.

[Image]

Приводим подобные члены.

[Image]

Выносим знак минус из произведения.

[Image]

Разложим числитель дроби на множители.

[Image]

[Image]

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

[Image]

[Image]

Выносим знак минус из произведения.

[Image]

Выносим знак минус из произведения.

[Image]

Приводим дроби к общему знаменателю.

[Image]

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

[Image]

Раскрываем скобки.

[Image]

Изменяем порядок действий.

Приводим подобные члены.

[Image]

Раскрываем скобки.

[Image]

Приводим подобные члены.

[Image]

Разложим числитель дроби на множители.

[Image]

[Image]

Тестовые интервалы:

[Image]

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум

[Image]

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

[Image]

Множество значений функции: множество всех действительных чисел

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: нет