Архив рубрики «Начала анализа»

Исследование функции пятой степени

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Данная функция определена для:

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:
.

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной произведения.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Выносим общий множитель.

Раскрываем скобки.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Выносим знак минус из произведения.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная суммы равна сумме производных.

Воспользуемся формулой производной произведения.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся формулой производной произведения.

Воспользуемся свойством степеней.

Раскрываем скобки.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Точки пересечения с осью x :

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 2

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак, ответ этого случая:

Ответ:

.

Точки пересечения с осью y:

нет

Вертикальные асимптоты:

Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение.

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Горизонтальные асимптоты:

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения горизонтальных асимптот преобразуем исходное выражение.

Воспользуемся формулой квадрата разности.

Предел данной функции на бесконечности равен числу 1

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Разложим знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Воспользуемся формулой Кардано.

Итак,ответ этого случая:
.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Воспользуемся формулой квадрата разности.

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель дроби на множители.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Воспользуемся формулой квадрата разности.

Воспользуемся формулой квадрата суммы.

Приводим подобные члены.

Разложим числитель дроби на множители.

Производим сокращение.

Разложим числитель дроби на множители.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум
.

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции: множество всех действительных чисел

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: нет

Решение примеров очень помогает развиваться внутренне. Но внешне тоже надо выглядеть очень хорошо.