Архив рубрики «Начала анализа»

Исследуем функцию, в которой в знаменателе произведение квадратичных функций

Исследуем функцию, в которой в знаменателе произведение квадратичных функций

Область определения:

Данная функция определена для:

Теперь решение разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Решаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

Старший коэффициент положителен.

Квадратичная функция принимает только неотрицательные значения.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Итак,ответ этого случая:

Полученные решения отметим на рисунках.

Находим общее решение.

Ответ:

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся формулой производной произведения. Получим в итоге

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней. Воспользуемся формулой производной произведения. Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Раскрываем скобки.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Точки пересечения с осью
: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Ответ: нет решений.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак,ответ этого случая:

Горизонтальные асимптоты:

Наклонные асимптоты: нет

Предел данной функции на бесконечности равен числу
.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Разложим одночлены в сумму нескольких.

Производим группировку.

Выносим общий множитель.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит,  уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак, ответ этого случая:

-1

не входит в ОДЗ функции.

Ответ:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Разложим одночлены в сумму нескольких. Производим группировку. Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:

Случай 2

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:

Случай 2.2

нет решений

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Разложим числитель дроби на множители.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум
.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции: