UTF-8" /> Репетитор по математике | физике | программированию | в Харькове

Архив рубрики «Начала анализа»

Исследование функции онлайн с числителем шестой степени

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Данная функция определена для:

Решаем неравенство методом интервалов.

Решаем вспомогательное уравнение.

Уравнение 1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Ответ этого уравнения:
.

Отметим найденные критические точки и соответствующие им интервалы на числовой прямой.

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:
.

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной частного.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного, свойством степеней и  формулой производной произведения.

Точки пересечения с осью
:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Ответ:
.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты: нет .

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения асимптот преобразуем исходное выражение.

стремится к бесконечности при
стремящемся к бесконечности.

стремится к бесконечности при
стремящемся к бесконечности.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Случай 1.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Итак,ответ этого случая:
.

Ответ:
.

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Итак,ответ этого случая: нет решений.

Ответ:

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: функция четная, график симметричен относительно оси y

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Производим сокращение.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Приводим подобные члены.

Тестовые интервалы:

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум
.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: нет