Построение графика функции с квадратичной функцией в числителе и линейной в знаменателе
Исследуем функцию, заданную формулой:
Область определения:
Данная функция определена для:
Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком.
Полученное решение отметим на рисунке.
Ответ:
.
Первая производная:
Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.
Воспользуемся формулой производной частного.
Раскрываем скобки.
Выносим общий множитель.
Вторая производная:
Вторая производная это производная от первой производной.
Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.
Воспользуемся формулой производной частного.
Воспользуемся свойством степеней.
Воспользуемся формулой производной произведения.
Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.
Раскрываем скобки.
Выносим общий множитель.
Воспользуемся свойством степеней.
Точки пересечения с осью
:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.
Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.
Ответ:
.
Точки пересечения с осью y:
Пусть
Вертикальные асимптоты:
Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль
Перенесем известные величины в правую часть уравнения.
Горизонтальные асимптоты: нет .
Наклонные асимптоты:
.
Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение.
Раскрываем скобки.
Предел разности исходной функции и функции
на бесконечности равен нулю.
Критические точки:
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.
Случай 1
Итак,ответ этого случая:
.
Случай 2
Перенесем известные величины в правую часть уравнения.
Итак,ответ этого случая:
.
Ответ:
Возможные точки перегиба: нет
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
Ответ: нет решений.
Точки разрыва:
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).
Раскрываем скобки.
Выносим знак минус из произведения.
Выносим знак минус из произведения.
Приводим дроби к общему знаменателю.
Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Раскрываем скобки.
Раскрываем скобки.
Приводим подобные члены.
Симметрия относительно начала координат: нет
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).
Раскрываем скобки.
Выносим знак минус из произведения.
Выносим знак минус из произведения.
Приводим дроби к общему знаменателю.
Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Раскрываем скобки.
Раскрываем скобки.
Приводим подобные члены.
Выносим знак минус из произведения.
Тестовые интервалы:
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).
Относительный минимум
.
Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).
Относительный максимум
.
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Множество значений функции:
