Каталог примеров

Построение графика дробно-линейной функции

Когда сдаются тесты по математике, часто предлагается построить график дробно-линейной функции. График дробно линейной функции состоит из 2 веток, симметричных относительно наклонной асимптоты и осей координат. Решая тесты по математике, нужно привести полный ход построения Область определения: Данная функция определена для: Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком. Полученное решение отметим на рисунке. Ответ: . Первая производная: Воспользуемся формулой производной частного. = Раскрываем скобки. Вторая производная: Вторая производная это производная от первой производной. Воспользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней. = Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Раскрываем скобки. Выносим общий множитель. Воспользуемся свойством степеней. Точки пересечения с осью : Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Находим дискриминант. Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Ответ: . Точки пересечения с осью : Пусть Вертикальные асимптоты: Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Горизонтальные асимптоты: нет . Наклонные асимптоты: . Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. = Раскрываем скобки. = Предел разности исходной функции и функции на бесконечности равен нулю. Критические точки: Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Находим дискриминант. Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Ответ: . Возможные точки перегиба: нет Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. Ответ: нет решений. Точки разрыва: Симметрия относительно оси ординат: нет Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x). = Выносим знак минус из произведения. = Выносим знак минус из произведения. = Приводим дроби к общему знаменателю. = Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. = Раскрываем скобки. = Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены. = Раскрываем скобки. = Приводим подобные члены. = Разложим числитель дроби на множители. = Симметрия относительно начала координат: нет Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x). = Выносим знак минус из произведения. = Выносим знак минус из произведения. = Приводим дроби к общему знаменателю. = Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. = Раскрываем скобки. = Изменяем порядок действий. Приводим подобные члены. = Раскрываем скобки. = Приводим подобные члены. = Разложим числитель дроби на множители. = Тестовые интервалы: Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Тестовые интервалы: характер графика
- + - возрастает,выпукла вверх
+ -
+ + - возрастает,выпукла вверх
- относительный максимум
+ - - убывает,выпукла вверх
- -
- - - убывает,выпукла вверх
неопределено неопределено неопределено вертикальная асимптота
+ - + убывает,выпукла вниз
+ относительный минимум
+ + + возрастает,выпукла вниз
Относительные экстремумы: Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум . Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум . Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график. Множество значений функции: Наименьшее значение: нет Наибольшее значение: нет