Построение графика функции с многочленом пятой степени в знаменателе

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Данная функция определена для:

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:
.

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной частного.

Раскрываем скобки и выносим общий множитель.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Находим вторую  производную :

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся формулой производной произведения.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Точки пересечения с осью x:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Ответ:

Точки пересечения с осью y:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты:

Наклонные асимптоты: нет .

Предел данной функции на бесконечности равен числу 0.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак, ответ этого случая:

Ответ:

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Произведем замену переменных.

Пусть

В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ вспомогательного уравнения:

В этом случае исходное уравнение сводится к уравнению

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 2.1

Итак, ответ этого случая:

Случай 2.2

Итак, ответ этого случая:

.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Приводим подобные члены.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительный минимум
.

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум (0, 0)

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.