December 14, 2017 Построение графика функции с полным исследованием

Построить график функции, проведя полное исследование

Исследуем функцию, заданную формулой:

 полное исследование

Область определения:

Данная функция определена для:

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Ответ:

Первая производная:

Воспользуемся формулой производной частного.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся формулой производной произведения.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Точки пересечения с осью
: нет

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

1 не входит в ОДЗ функции.

Ответ: нет решений.

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты:

Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение.

Воспользуемся формулой разности кубов.

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Горизонтальные асимптоты: нет .

Наклонные асимптоты:

Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение.

Воспользуемся формулой разности кубов.

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Предел разности исходной функции и функции
на бесконечности равен нулю.

Критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Случай 1

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Разложим одночлены в сумму нескольких.

Добавим и вычтем одинаковые слагаемые.

Производим группировку.

Выносим общий множитель.

общий множитель

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай
.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай
.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак,ответ этого случая:

.

Итак,ответ этого случая:

.

1  не входит в ОДЗ функции.

Ответ:

.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

не входит в ОДЗ функции.

Ответ: нет решений.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

четная

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Воспользуемся формулой разности кубов.

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Воспользуемся формулой суммы кубов.

Производим сокращение.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Воспользуемся формулой разности кубов.

Воспользуемся формулой суммы кубов.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Воспользуемся формулой разности кубов.

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Воспользуемся формулой суммы кубов.

Производим сокращение.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Воспользуемся формулой разности кубов.

Воспользуемся формулой суммы кубов.

Раскрываем скобки.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум
.

Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-).

Относительный максимум
.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение: нет

Наибольшее значение: нет