Каталог примеров

Построить график функции дробной функции, содержащей функцию четвертой степени в знаменателе, проведя полное исследование.

Исследуем функцию, заданную формулой: на тестах по математике функция, задана формулой: При решение многих примеров на тестах по математике вначале надо найти область определения: на тестах по математике часто надо область определения Данная функция определена для: Переносим известные величины в правую часть неравенства c противоположным знаком. Полученное решение отметим на рисунке. Ответ: Находим первую производную: Решая такие тесты по математике, спользуемся формулой производной частного. Воспользуемся свойством степеней. воспользуемся свойством степеней. Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Раскрываем скобки. Выносим общий множитель. Раскрываем скобки. Воспользуемся свойством степеней. Изменим знаки выражений на противоположные. Вторая производная: Вторая производная это производная от первой производной. Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции. Воспользуемся формулой производной частного. = Воспользуемся свойством степеней. Воспользуемся формулой производной произведения. Раскрываем скобки. Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Раскрываем скобки и выносим общий множитель. Раскрываем скобки и воспользуемся свойством степеней. Изменим знаки выражений на противоположные. Точки пересечения с осью: Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Ответ: Точки пересечения с осью y: Пусть Вертикальные асимптоты: Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Горизонтальные асимптоты: . Наклонные асимптоты: нет . Предел данной функции на бесконечности равен числу 0. Критические точки: Предел данной функции на бесконечности Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. Изменим знаки выражений на противоположные. Изменим знаки выражений на противоположные. Дробь обращается ноль, когда числитель равен 0 Случай 1 Итак,ответ этого случая: . Случай 2. Перенесем известные величины в правую часть уравнения. Итак, ответ этого случая: . Ответ: . Возможные точки перегиба: Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю. Случай . Итак,ответ этого случая: . Случай . Следующее уравнение равносильно предыдущему. Находим дискриминант. Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения. Итак, ответ этого случая: . Ответ: . Точки разрыва: Симметрия относительно оси ординат: нет Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x). Приводим дроби к общему знаменателю и  Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены и разложим числитель дроби на множители. Симметрия относительно начала координат: нет Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x). Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю и производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой. Разложим числитель дроби на множители. Тестовые интервалы: Результаты исследования функции занесем в таблицу. Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум Данные таблицы нанесем на координатную плоскость. Используя результаты исследования функции, построим ее график. Множество значений функции: Множество значений функции:
Наименьшее значение: Наибольшее значение: нет