December 13, 2017 Производная дроби примеры

Производная дроби примеры

Область определения:

Данная функция определена для:

Решаем вспомогательное уравнение.

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

Старший коэффициент положителен.

Квадратичная функция принимает только неотрицательные значения.

Следующее неравенство равносильно предыдущему.

Ответ:

Найдем первую  производную

Воспользуемся формулой производной частного.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней, а также воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции. Потом Выносим общий множитель.

Воспользуемся свойством степеней.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Точки пересечения с осью x:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Ответ:

X=3

Точки пересечения с осью
:

Пусть x=0

Вертикальные асимптоты:

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Находим дискриминант.

Дискриминант равен нулю, значит уравнение имеет один корень.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Горизонтальные асимптоты: y=1

Наклонные асимптоты: нет.

Для нахождения горизонтальных асимптот преобразуем исходное выражение.

Предел данной функции на бесконечности равен числу 1

Критические точки:

X=3

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Находим дискриминант. Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Корень 2  не входит в ОДЗ функции.

Ответ:

Таким образом, окончательный ответ

X=3

Возможные точки перегиба:

X=3.5

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Решаем уравнение методом разложения на множители.

Разложим одночлены в сумму нескольких.

Производим группировку.

Выносим общий множитель.

Выносим общий множитель.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Итак,ответ этого случая:

.

Случай 2

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит,  уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак,ответ

2  не входит в ОДЗ функции.

Ответ:

X=3.5

Точки разрыва:

X=2

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Приводим подобные члены. Выносим знак минус из произведения.

Разложим числитель дроби на множители.

Функция не может быть четной.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Приводим подобные члены. Разложим числитель дроби на множители.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу. Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум
.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наименьшее значение:

Наибольшее значение: нет