Нахождение производной сложной функции и построение её графика

Нахождение производной  сложной функции и построение её графика

Область определения: множество всех действительных чисел

Для нахождения  производной  сложной функции воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной произведения.

Воспользуемся правилом нахождения производной для сложной функции.

Выносим общий множитель.

Раскрываем скобки.

Производим группировку.

Точки пересечения с осью
:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Выносим общий множитель.

Ответ:

Точки пересечения с осью
:

Пусть

Вертикальные асимптоты:нет

Горизонтальные асимптоты: нет.

Наклонные асимптоты: нет

Y(x) стремится к бесконечности при x,  стремящемся к бесконечности.

Критические точки следующие:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Выносим общий множитель.

Итак,ответ этого случая:
.

Ответ:

Возможные точки перегиба:

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

Случай 1

Выносим общий множитель.

Итак,ответ этого случая:
.

Случай 2

Следующее уравнение равносильно предыдущему.

Находим дискриминант.

Дискриминант положителен, значит уравнение имеет два корня.

Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения.

Итак,ответ этого случая:

.

Точки разрыва: нет

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)f(x).

Для определения чётности  выносим знак минус из произведения.

Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Для возведения в степень воспользуемся биноминальной формулой.

Приводим подобные члены.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы:

Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+).

Относительный минимум

.

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции следующее:

Наименьшее значение:

Наибольшее значение: нет