Провести исследование функции и построить ее график

Провести исследование функции и построить ее график

Исследуем функцию, заданную формулой:

Область определения:

Данная функция определена для:

Полученное решение отметим на рисунке.

Ответ:

Первая производная:

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Раскрываем скобки.

Выносим общий множитель.

Воспользуемся правилом умножения дробей.

Вторая производная:

Вторая производная это производная от первой производной.

Производная произведения константы и функции равна произведению константы на производную функции.

Воспользуемся формулой производной частного.

Воспользуемся свойством степеней.

Воспользуемся правилом умножения дробей. Выносим знак минус из произведения.

Воспользуемся свойством степеней.

Точки пересечения с осью
:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю.

Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равен нулю.

Перенесем известные величины в правую часть уравнения.

Разделим левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном.

Ответ:

Точки пересечения с осью y: нет

Вертикальные асимптоты:

Для нахождения вертикальных асимтот упростим выражение.

Разложим числитель дроби на множители.

Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль

Горизонтальные асимптоты:

Наклонные асимптоты: нет .

Для нахождения горизонтальных асимптот преобразуем исходное выражение.

Разложим числитель дроби на множители.

Выносим знак минус из произведения.

Предел данной функции на бесконечности равен числу

Критические точки: нет

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Ответ: нет решений.

Возможные точки перегиба: нет

Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.

Изменим знаки выражений на противоположные.

Ответ: нет решений.

Точки разрыва:

Симметрия относительно оси ординат: нет

Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Выносим знак минус из произведения.

Симметрия относительно начала координат: нет

Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).

Выносим знак минус из произведения.

Выносим знак минус из произведения.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Разложим числитель дроби на множители.

Производим сокращение.

Тестовые интервалы:

Результаты исследования функции занесем в таблицу.

Относительные экстремумы: нет

Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.

Используя результаты исследования функции, построим ее график.

Множество значений функции:

Наибольшее значение: нет