Архив рубрики «Стереометрия»

Тесты по математике. Решение задач по стереометрии на нахождение метрических величин

Тесты по математике. Решение задач по стереометрии .

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания, равной

Центр основания пирамиды является вершиной конуса, окружность основания которого

вписана в боковую грань пирамиды. Найдите радиус основания конуса.

1) Пусть DABC — данная правильная пирамида, DK — ее апофема,

DH — высота, и пусть основание конуса вписано в боковую грань

BCD (см. рис.).

Тогда:

а) сдавая тесты по математике, используем свойство правильной пирамиды, точка H — центр треугольника

ABC, следовательно, точка H принадлежит высоте (медиане, биссектрисе) AK треугольника
ABC;

б) отрезок DK
является высотой, медианой и биссектрисой равнобедренного треугольника BCD;

в) основание O
высоты HO конуса является центром окружности, вписанной в треугольник BCD,

следовательно, O
— точка пересечения биссектрис DK и BM этого треугольника. Кроме того,

отрезок HK является радиусом окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, а отрезок

OK — радиусом окружности, вписанной в равнобедренный треугольник BCD, т. е. искомым

радиусом основания конуса.

Следующий этап этого теста по математике

2) Обозначим через a, bи dсоответственно длину стороны основания данной пирамиды, длину ее

бокового ребра и ее апофему, а через x— радиус основания конуса. Тогда имеем:

а) отрезок HK
— радиус окружности, вписанной в правильный треугольник ABC, следовательно,

Отрезок HO — высота прямоугольного треугольника DHK, проведенная из вершины его прямого угла H, следовательно,

в) теперь для успешного решения тестов по математике рассмотрим отрезок OK — радиус окружности, вписанной в треугольник DCB, следовательно,

S — площадь треугольника BCD, p— его полупериметр, откуда

г) приравнивая найденные в п. б) и в) значения x, получаем

из прямоугольного треугольника BDK находим:

решаем систему уравнений (1) и (2):

ж) окончательно имеем

Сдавая тесты по математике , указываем привальный ответ

1