UTF-8" /> Репетитор по математике | физике | программированию | в Харькове

Архив рубрики «Стереометрия»

Тесты по математике. Решение задачи о нахождении угла между медианой и средней линией

При решение данной задачи нужно применять не только знания стереометрии, но и планиметрии.

Сдавая тесты по математике нужно применять все знания, полученные по геометрии как 7-9, так и в 10-11 классах.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S – вершина) боковое ребро вдвое больше стороны в основании. Найдите угол между медианой треугольника SDC, проведенной из вершины D, и средней линией треугольника ASC, что параллельная основе пирамиды.

Пусть SABCD – заданная правильная пирамида, в основе которой лежит квадрат ABCD, и SO ее высота. Обозначим сторону основы  АВ через а, тогда боковое ребро SA = 2a.

В треугольнике SDC из  вершины D проведем медиану DN,  N – середина ребра SC. В треугольнике ASC проведем среднюю линию, параллельную AC. Она пересекает ребра SA и SC в точках М и N
соответственно, AM = MS и SN = NC (за определением средней линии). Поскольку АСС лежит в плоскости ABC и MN || AC, то MN || (ABC). Прямые MN и ND
пересекаются в точке N, тому кут MND является искомым углом между медианой DN треугольника SDC и средней линией MN
треугольника ASC. Обозначим
.

Диагональ АСС квадрата АВС
равняется , поэтому средняя линия MN =.

Высота SO пирамиды  пересекает MN в точке L. Поскольку треугольники ASC и SMN являются равнобедренными, то АО = ОС
и ML = LN =
.

Из прямоугольного треугольника


.

По теореме  Фалеса

SL = LO = 0.5

SO=

.

Из прямоугольного треугольника

.

Треугольник DNM
равнобедренный, поскольку DM = DN как медианы равных треугольников SAD
и SCD. Медиана DL является высотой. Итак, треугольник DLN есть прямоугольным.

Из треугольника DLN имеем:


.

Ответ.