December 13, 2017 Задачи на аксиомы стереометрии

Задача 7. Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Вариант 1. Докажите, что прямые AB и CD не пересекаются.

Вариант 2. Докажите, что прямые AD и BC не пересекаются

Вариант 1.  Докажем методом от противного.  Пусть AB и CD пересекаются, тогда по аксиоме 3 через них можно провести плоскость, и в ней лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Так что AB и CD не пересікаються, что и требовалось доказать.

Вариант 2.  Докажем методом от противного.  Пусть AD и BC пересекаются, тогда по аксиоме 3 через них можно провести плоскость, и в ней лежат все четыре точки, что противоречит условию задачи. Так что AD и ВС не пересікаються,  что и требовалось доказать.

Вариант 1. Можно ли через радиусы провести единственную плоскость?

Вариант 2. Можно ли через 2 вершины треугольника и центр описанной окружности провести единственную плоскость?

Вариант 1 .Решение.

В случае если 2 радиуса образуют диаметр, то получится, что три точки лежат на одной прямой. Они не определяют единственную плоскость. Через прямую можно провести бесконечное число плоскостей. В остальных случаях получаются 2 точки, не лежащие на одной прямой, которые задают плоскость, которой принадлежит каждая точка окружности.

Вариант 2 .Решение. Радиус описанной окружности принадлежит в прямоугольном треугольнике середине биссектрисы.  Рассмотрим 2 варианта.

В первом случае если вершины треугольника принадлежат гипотенузе, то лежат на одной прямой. Они не определяют единственную плоскость. Через прямую можно провести бесконечное число плоскостей. Во втором случае если одна из точек является вершиной угла, они не лежат на одной прямой. Они задают плоскость, которой принадлежит каждая точка треугольника.