Решение задачи о нахождении угла между медианой и средней линией

При решение данной задачи нужно применять не только знания стереометрии, но и планиметрии. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S – вершина) боковое ребро вдвое больше стороны в основании. Найдите угол между медианой треугольника SDC, проведенной из вершины D, и средней линией треугольника ASC, что параллельная основе пирамиды.

Пусть SABCD – заданная правильная пирамида, в основе которой лежит квадрат ABCD, и SO ее высота. Обозначим сторону основы  АВ через а, тогда боковое ребро SA = 2a. В треугольнике SDC из  вершины D проведем медиану DN,  N – середина ребра SC. В треугольнике ASC проведем среднюю линию, параллельную AC. Она пересекает ребра SA и SC в точках М и N соответственно, AM = MS и SN = NC (за определением средней линии). Поскольку АСС лежит в плоскости ABC и MN || AC, то MN || (ABC). Прямые MN и ND пересекаются в точке N, тому кут MND является искомым углом между медианой DN треугольника SDC и средней линией MN треугольника ASC. Обозначим . Диагональ АСС квадрата АВС равняется , поэтому средняя линия MN =. Высота SO пирамиды  пересекает MN в точке L. Поскольку треугольники ASC и SMN являются равнобедренными, то АО = ОС и ML = LN = . Из прямоугольного треугольника . По теореме  Фалеса SL = LO = 0.5 SO= . Из прямоугольного треугольника . Треугольник DNM равнобедренный, поскольку DM = DN как медианы равных треугольников SAD и SCD. Медиана DL является высотой. Итак, треугольник DLN есть прямоугольным. Из треугольника DLN имеем: . Ответ.