Решение задачи о нахождении угла между медианой и средней линией
При решение данной задачи нужно применять не только знания стереометрии, но и планиметрии.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S – вершина) боковое ребро вдвое больше стороны в основании. Найдите угол между медианой треугольника SDC, проведенной из вершины D, и средней линией треугольника ASC, что параллельная основе пирамиды.

Пусть
SABCD – заданная правильная пирамида, в основе которой лежит квадрат
ABCD, и
SO ее высота. Обозначим сторону основы
АВ через
а, тогда боковое ребро
SA = 2
a.
В треугольнике
SDC из вершины
D проведем медиану
DN, N – середина ребра
SC. В треугольнике
ASC проведем среднюю линию, параллельную
AC. Она пересекает ребра
SA и
SC в точках
М и
N
соответственно,
AM = MS и
SN = NC (за определением средней линии). Поскольку
АСС лежит в плоскости
ABC и
MN ||
AC, то
MN || (
ABC). Прямые
MN и
ND
пересекаются в точке
N, тому кут
MND является искомым углом между медианой
DN треугольника
SDC и средней линией
MN
треугольника
ASC. Обозначим

.
Диагональ
АСС квадрата
АВС
равняется

, поэтому средняя линия
MN =

.
Высота
SO пирамиды пересекает
MN в точке
L. Поскольку треугольники
ASC и
SMN являются равнобедренными, то
АО = ОС
и
ML = LN =

.
Из прямоугольного треугольника

.
По теореме Фалеса
SL = LO = 0.5
SO=

.
Из прямоугольного треугольника

.
Треугольник
DNM
равнобедренный, поскольку
DM = DN как медианы равных треугольников
SAD
и
SCD. Медиана
DL является высотой. Итак, треугольник
DLN есть прямоугольным.
Из треугольника
DLN имеем:

.
Ответ.